Ar kvantinių būsenų amplitudės visada yra tikrieji skaičiai?

/ / paskelbta Kvantinė informacija, EITC/QI/QIF kvantinės informacijos pagrindai, Darbo pradžia, Apžvalga

Kvantinės informacijos srityje kvantinių būsenų ir su jomis susijusių amplitudių samprata yra pagrindinė. Norint išspręsti klausimą, ar kvantinės būsenos amplitudė turi būti realusis skaičius, būtina atsižvelgti į matematinį kvantinės mechanikos formalizmą ir principus, kurie valdo kvantines būsenas.

Kvantinė mechanika vaizduoja kvantinės sistemos būseną, naudojant matematinį objektą, žinomą kaip bangos funkcija arba būsenos vektorius, paprastai žymimas ( psi ) (psi) arba (ket{psi}) Dirac žymėjime. Šis būsenos vektorius yra sudėtingoje vektorių erdvėje, vadinamoje Hilberto erdve. Šios erdvės elementai, būsenos vektoriai, paprastai yra sudėtingos reikšmės funkcijos.

Kvantinės būsenos amplitudė reiškia koeficientus, kurie atsiranda išsiplečiant būsenos vektoriui pasirinkto pagrindo atžvilgiu. Kvantinei sistemai, aprašytai būsenos vektoriumi ( ket{psi} ), jei šią būseną išreiškiame pagrindu ( { ket{phi_i} } ), turime:

[ ket{psi} = suma_i c_i ket{phi_i} ]

Čia ( c_i ) yra kompleksinės amplitudės, susietos su bazinėmis būsenomis ( ket{phi_i} ). Šios amplitudės ( c_i ) paprastai yra kompleksiniai skaičiai. Tai yra tiesioginė reikalavimo, kad vidinė produkto erdvė būtų užbaigta ir atitiktų kvantinės superpozicijos ir trukdžių principus, pasekmė.

Sudėtingas amplitudių pobūdis svarbus dėl kelių priežasčių:

1. Superpozicijos principas: Kvantinė mechanika leidžia superpoziciją būsenoms. Jei ( ket{psi_1} ) ir ( ket{psi_2} ) yra dvi galiojančios kvantinės būsenos, tai bet koks tiesinis derinys ( alfa ket{psi_1} + beta ket{psi_2} ), kur ( alfa ) ir ( beta ) yra kompleksiniai skaičiai, taip pat yra galiojanti kvantinė būsena. Kompleksiniai koeficientai (alfa) ir (beta) parodo atitinkamų superpozicijos būsenų amplitudes.

2. Tikimybių aiškinimas: Tikimybę išmatuoti tam tikrą rezultatą kvantinėje sistemoje lemia amplitudės modulis kvadratu. Jei ( c_i ) yra būsenos ( ket{phi_i} ) amplitudė, tikimybė ( P_i ) išmatuoti būseną ( ket{phi_i} ) apskaičiuojama taip:

[ P_i = |c_i|^2 = c_i^* c_i ]

kur ( c_i^* ) yra kompleksinis ( c_i ) konjugatas. Ši tikimybė turi būti tikrasis skaičius nuo 0 iki 1, tačiau pati amplitudė ( c_i ) gali būti sudėtinga.

3. Interferenciniai efektai: Sudėtingas amplitudžių pobūdis yra būtinas norint apibūdinti trukdžių reiškinius. Kai trukdo du ar daugiau kvantinių takų, gauta amplitudė yra atskirų amplitudių suma, o fazių skirtumas tarp šių sudėtingų amplitudių sukelia konstruktyvius arba destruktyvius trukdžius. Tai yra esminis reiškinių, tokių kaip dvigubo plyšio eksperimentas, aspektas.

4. Vieninga evoliucija: Kvantinės būsenos evoliuciją laike valdo Šriodingerio lygtis, apimanti Hamiltono operatorių. Šios lygties sprendiniai paprastai yra sudėtingos funkcijos. Vienetiniai operatoriai, apibūdinantys evoliuciją, išsaugo būsenos vektoriaus normą, bet gali pakeisti jo fazę, todėl amplitudės turi būti sudėtingos.

Norėdami iliustruoti šiuos dalykus, apsvarstykite paprastą kubito, pagrindinio kvantinės informacijos vieneto, pavyzdį. Kubitas gali būti bazinių būsenų ( ket{0} ) ir ( ket{1} ) superpozicijoje:

[ ket{psi} = alfa ket{0} + beta ket{1} ]

Čia ( alfa ) ir ( beta ) yra tokie kompleksiniai skaičiai, kad ( |alpha|^2 + |beta|^2 = 1 ). Ši normalizavimo sąlyga užtikrina, kad bendra tikimybė rasti kubitą bet kurioje būsenoje ( ket{0} ) arba ( ket{1} ) yra 1. Sudėtingas ( alfa ) ir ( beta ) pobūdis leidžia sukurti turtingą kvantinių būsenų struktūrą. ir yra būtinas atliekant kvantinio skaičiavimo ir informacijos apdorojimo užduotis.

Pavyzdžiui, apsvarstykite Hadamardo vartus, pagrindinius kvantinius vartus, naudojamus superpozicijos būsenoms sukurti. Pritaikius pagrindinei būsenai ( ket{0} ), Hadamard vartai sukuria būseną:

[ ket{+} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} + ket{1})]

Čia tiek ( ket{0} ), tiek ( ket{1} ) amplitudė yra ( frac{1}{sqrt{2}} ), kuris yra tikrasis skaičius. Tačiau, jei Hadamardo vartus pritaikysime būsenai ( ket{1} ), gausime:

[ ket{-} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} – ket{1}) ]

Šiuo atveju ( ket{1} ) amplitudė yra ( -frac{1}{sqrt{2}} ), kuri vis dar yra reali. Nepaisant to, apsvarstykite fazės vartus, kurie įveda sudėtingą fazės koeficientą. Fazės užtvaras ( R(theta) ) veikia kubito būseną ( ket{psi} = alfa ket{0} + beta ket{1} ) taip:

[ R(teta) ket{psi} = alfa ket{0} + beta e^{itheta} ket{1} ]

Čia ( e^{itheta} ) yra kompleksinis skaičius su vieneto moduliu. Ši operacija aiškiai parodo, kad būsenos amplitudė (ket{1}) gali įgyti sudėtingą fazės koeficientą, pabrėžiant sudėtingų amplitudių būtinybę kvantinėje mechanikoje.

Be to, apsvarstykite kvantinio susipynimo reiškinį, kai vienos dalelės būsena yra iš esmės susijusi su kitos, neatsižvelgiant į atstumą tarp jų. Susipynusi dviejų kubitų būsena gali būti pavaizduota taip:

[ ket{psi} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{00} + e^{iphi} ket{11}) ]

Čia (e^{iphi}) yra sudėtingas fazės faktorius, parodantis, kad santykinė fazė tarp įsipainiojusios būsenos komponentų yra svarbi apibūdinti įsipainiojimo savybes.

Kvantiniame skaičiavime sudėtingų amplitudių naudojimas yra būtinas kvantiniams algoritmams įgyvendinti. Pavyzdžiui, Shor algoritmas, skirtas didelių sveikųjų skaičių faktorinavimui, ir Groverio algoritmas nestruktūrizuotai paieškai remiasi sudėtingų amplitudių trukdžiais, kad pasiektų eksponentinį greitį, palyginti su klasikiniais algoritmais.

Sudėtingų amplitudžių būtinybė akivaizdi ir kvantinės klaidų korekcijos kontekste. Kvantinių klaidų taisymo kodai, tokie kaip Shor kodas arba Steane kodas, užkoduoja loginius kubitus į susietas kelių fizinių kubitų būsenas. Sudėtingos šių kodų amplitudės užtikrina, kad klaidas galima aptikti ir ištaisyti nesugriaunant kvantinės informacijos.

Kvantinės būsenos amplitudė nebūtinai turi būti tikrasis skaičius. Sudėtingas kvantinių amplitudių pobūdis yra esminis kvantinės mechanikos aspektas, leidžiantis apibūdinti superpoziciją, trukdžius ir įsipainiojimą. Kompleksinių skaičių naudojimas yra būtinas matematiniam kvantinės teorijos nuoseklumui ir praktiniam kvantinės informacijos apdorojimo užduočių įgyvendinimui.

Kiti naujausi klausimai ir atsakymai apie EITC/QI/QIF kvantinės informacijos pagrindai:

Peržiūrėkite daugiau klausimų ir atsakymų EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals

Daugiau klausimų ir atsakymų:

Tagged pagal: , , , , ,