Kaip apibrėžti, kad kalba L būtų BQP, ir kokie yra reikalavimai kvantinei grandinei, sprendžiančiai BQP problemą?
Kvantinio sudėtingumo teorijos srityje klasė BQP (Bounded Error Quantum Polynomial Time) apibrėžiama kaip sprendimų problemų rinkinys, kurį kvantinis kompiuteris gali išspręsti daugianario laiku su ribota klaidos tikimybe. Norėdami apibrėžti kalbą L, kuri turi būti BQP, turime parodyti, kad egzistuoja kvantinis algoritmas, kuris išsprendžia L su daugianario laiko sudėtingumu ir ribota klaidų tikimybe.
Kalba L apibrėžiama kaip eilučių rinkinys tam tikroje abėcėlėje. BQP kontekste sakoma, kad kalba L yra BQP tada ir tik tada, kai yra kvantinis algoritmas, kuris nusprendžia L su šiomis savybėmis:
1. Polinomo laiko sudėtingumas: kvantinis algoritmas turi veikti daugianario laiku, o tai reiškia, kad algoritmo atliekamų elementariųjų kvantinių operacijų skaičių riboja įvesties dydžio daugianario funkcija. Tai užtikrina, kad algoritmas gali efektyviai išspręsti praktinio intereso problemas.
2. Ribinės klaidos tikimybė: Kvantinis algoritmas turi turėti ribotą klaidos tikimybę. Tai reiškia, kad bet kurios įvesties eilutės x atveju algoritmas turi pateikti teisingą atsakymą su tikimybe, didesne arba lygia fiksuotai ribai, paprastai 2/3. Ir atvirkščiai, tikimybė, kad bus pateiktas neteisingas atsakymas, turi būti mažesnė arba lygi fiksuotai ribai, paprastai 1/3.
Norėdami išspręsti BQP problemą naudodami kvantinę grandinę, turime sukurti kvantinį algoritmą, kurį būtų galima įgyvendinti kaip kvantinių vartų seką, veikiančią kubitų rinkinį. Kvantinės grandinės, sprendžiančios BQP problemą, reikalavimai yra tokie:
1. Įvesties paruošimas: Kvantinė grandinė turi sugebėti paruošti įvesties būseną, atitinkančią problemos įvesties eilutę. Paprastai tai apima kubitų rinkinio inicijavimą konkrečioje kvantinėje būsenoje, koduojančioje įvesties informaciją.
2. Kvantiniai vartai: Kvantinė grandinė turi įgyvendinti kvantinių vartų seką, kuri atlieka norimas skaičiavimo operacijas su kubitais. Šie vartai gali apimti pagrindinius kvantinius vartus, tokius kaip Pauli-X, Pauli-Y, Pauli-Z, Hadamard, fazės ir valdomus vartus, tokius kaip CNOT.
3. Kvantiniai matavimai: Kvantinė grandinė turi apimti matavimus, kurie ištraukia norimą informaciją iš galutinės kubitų būsenos. Šie matavimai naudojami norint gauti algoritmo išvestį ir nustatyti problemos sprendimą.
Svarbu pažymėti, kad kuriant kvantinę grandinę, sprendžiančią BQP problemą, reikia atidžiai apsvarstyti problemos struktūrą ir turimus kvantinius vartus. Tikslas yra išnaudoti būdingą kvantinių sistemų lygiagretumą ir trukdžių poveikį, kad būtų pasiektas greitis, palyginti su klasikiniais algoritmais.
Pavyzdžiui, apsvarstykite didelių sveikųjų skaičių faktoringo problemą. Jei galime efektyviai apskaičiuoti didelius sveikuosius skaičius naudojant kvantinį algoritmą, tada sudėtinių sveikųjų skaičių kalba gali būti nustatyta BQP. Šoro algoritmas yra garsus kvantinis algoritmas, kuris kvantiniame kompiuteryje gali apskaičiuoti didelius sveikuosius skaičius daugianario laiku. Sukūrę kvantinę grandinę, kuri įgyvendina Šoro algoritmą, galime išspręsti faktoringo problemą BQP.
Kalba L apibrėžiama kaip BQP, jei egzistuoja kvantinis algoritmas, kuris išsprendžia L su daugianario laiko sudėtingumu ir ribota klaidos tikimybe. Norėdami išspręsti BQP problemą, turime sukurti kvantinę grandinę, kuri galėtų paruošti įvesties būseną, įdiegti reikiamus kvantinius vartus ir atlikti matavimus norimai informacijai išgauti.
Kiti naujausi klausimai ir atsakymai apie BQP:
- Kokie yra atviri klausimai, susiję su BQP ir NP ryšiu, ir ką tai reikštų sudėtingumo teorijai, jei būtų įrodyta, kad BQP yra griežtai didesnis už P?
- Kokie įrodymai rodo, kad BQP gali būti galingesnis už klasikinį daugianario laiką, ir kokie yra problemų, kurios, kaip manoma, yra BQP, bet ne BPP, pavyzdžiai?
- Kaip galime padidinti tikimybę gauti teisingą atsakymą BQP algoritmuose ir kokią klaidų tikimybę galima pasiekti?
- Kas yra sudėtingumo klasė BQP ir kaip ji susijusi su klasikinėmis sudėtingumo klasėmis P ir BPP?