Ar PSPACE klasė nėra lygi EXPSPACE klasei?
Klausimas, ar PSPACE klasė nėra lygi EXPSPACE klasei, yra esminė ir neišspręsta skaičiavimo sudėtingumo teorijos problema. Siekiant visapusiško supratimo, būtina atsižvelgti į šių sudėtingumo klasių apibrėžimus, savybes ir pasekmes, taip pat į platesnį erdvės sudėtingumo kontekstą.
Apibrėžimai ir pagrindinės savybės
PSPACE: Klasė PSPACE susideda iš visų sprendimų problemų, kurias gali išspręsti Tiuringo mašina, naudojanti daugianario erdvę. Formaliai kalba L yra PSPACE, jei egzistuoja Tiuringo mašina M ir daugianario funkcija p(n), kad kiekviena įvestis x mašina M nusprendžia, ar x yra L, naudodama daugiausia p(|x|). PSPACE apima daugybę problemų, įskaitant tas, kurias galima išspręsti daugianario laiku (P), ir tas, kurios yra užbaigtos PSPACE, pvz., Kiekybinės Būlio formulės (QBF) problema.
EXPACE: Klasė EXPSPACE apima visas sprendimo problemas, kurias gali išspręsti Tiuringo mašina, naudodama eksponentinį erdvę. Konkrečiai kalbant, kalba L yra EXPSPACE, jei yra Tiuringo mašina M ir eksponentinė funkcija f(n), todėl kiekviena įvestis x mašina M nusprendžia, ar x yra L, naudodama daugiausia 2^f(|x|) erdvė. EXPSPACE yra didesnė klasė nei PSPACE, nes ji leidžia eksponentiškai daugiau erdvės ir leidžia išspręsti įvairesnes problemas.
Ryšys tarp PSPACE ir EXPACE
Norint suprasti ryšį tarp PSPACE ir EXPSPACE, svarbu atpažinti erdvės sudėtingumo klasių hierarchiją. Pagal apibrėžimą PSPACE yra įtrauktas į EXPSPACE, nes bet kokia problema, kurią galima išspręsti naudojant polinominę erdvę, taip pat gali būti išspręsta naudojant eksponentinę erdvę. Formaliai PSPACE ⊆ EXPACE. Tačiau priešingai nebūtinai yra tiesa; plačiai manoma, kad EXPSPACE yra problemų, kurių negalima išspręsti naudojant daugianario erdvę, o tai reiškia, kad PSPACE ≠ EXPSPACE.
Pavyzdžiai ir pasekmės
Apsvarstykite QBF problemą, kuri yra visiškai PSPACE. Ši problema apima kiekybinės Būlio formulės tiesos nustatymą ir ją galima išspręsti naudojant daugianario erdvę. Kadangi QBF yra pilnas PSPACE, bet kokia PSPACE problema gali būti sumažinta iki QBF daugianario laiku. Kita vertus, EXPSPACE, bet nebūtinai PSPACE problemos pavyzdys yra pasiekiamumo problema kintamoms Tiuringo mašinoms su eksponentinės erdvės ribomis. Dėl šios problemos reikia sekti eksponentiškai daug konfigūracijų, o tai neįmanoma naudojant daugianario erdvę.
Erdvės hierarchijos teorema
Erdvės hierarchijos teorema suteikia oficialų pagrindą įsitikinimui, kad PSPACE yra griežtai įtraukta į EXPSPACE. Ši teorema teigia, kad bet kuriai erdvėje konstruojamai funkcijai f(n) egzistuoja kalba, kurią galima nuspręsti erdvėje f(n), bet ne erdvėje o(f(n)). Taikydami šią teoremą su f(n) = 2^n, gauname, kad yra problemų, kurias galima išspręsti eksponentinėje erdvėje, kurios negali būti išspręstos jokioje subeksponentinėje erdvėje, įskaitant polinominę erdvę. Todėl Erdvės hierarchijos teorema reiškia, kad PSPACE yra griežtai įtrauktas į EXPSPACE, ty PSPACE ⊂ EXPSPACE.
Neišspręstas PSPACE pobūdis ≠ EXPSPACE
Nepaisant tvirtų įrodymų, kuriuos pateikia kosmoso hierarchijos teorema, klausimas, ar PSPACE nėra lygus EXPSPACE, lieka neišspręstas. Taip yra todėl, kad norint įrodyti griežtą nelygybę PSPACE ≠ EXPSPACE reikėtų parodyti, kad EXPSPACE egzistuoja specifinė problema, kurios negalima išspręsti naudojant PSPACE, o tai iki šiol nebuvo atlikta. Sunkumas kyla dėl sudėtingumo klasių atskyrimo įrodymo, kuris yra dažna skaičiavimo sudėtingumo teorijos tema.
Platesnis kontekstas ir susijusios sudėtingumo klasės
Santykį tarp PSPACE ir EXPSPACE galima kontekstualizuoti platesniame sudėtingumo klasių kraštovaizdyje. Pavyzdžiui, P klasė (polinominiu laiku išsprendžiamos problemos) yra PSPACE poaibis, ir plačiai manoma, kad P ≠ PSPACE. Panašiai klasė NP (nedeterministinis daugianario laikas) taip pat yra PSPACE, o garsioji P ir NP problema yra pagrindinis atviras lauko klausimas. Šių klasių izoliavimo ryšiai apibendrinami taip:
– P ⊆ NP ⊆ TARPAS ⊆ EXPACE
Be šių klasių, yra ir kitų svarbių erdvės sudėtingumo klasių, tokių kaip L (logaritminė erdvė) ir NL (nedeterministinė logaritminė erdvė), kurios yra PSPACE poaibiai. Ryšiai tarp šių klasių dar labiau iliustruoja skaičiavimo sudėtingumo hierarchiją, pagrįstą erdvės reikalavimais.
Klausimas, ar PSPACE nelygu EXPSPACE, yra esminė ir neišspręsta skaičiavimo sudėtingumo teorijos problema. Nors kosmoso hierarchijos teorema pateikia tvirtų įrodymų, kad PSPACE yra griežtai įtraukta į EXPSPACE, formalus griežtos nelygybės PSPACE ≠ EXPSPACE įrodymas lieka sunkiai suprantamas. Šio klausimo tyrimas atskleidžia platesnį sudėtingumo klasių kraštovaizdį ir būdingus iššūkius, susijusius su jų atskyrimo įrodymu.
Kiti naujausi klausimai ir atsakymai apie sudėtingumas:
- Ar P sudėtingumo klasė yra PSPACE klasės poaibis?
- Ar galime įrodyti, kad Np ir P klasės yra vienodos, rasdami veiksmingą daugianario sprendimą bet kuriai NP užbaigtai problemai deterministinėje TM?
- Ar NP klasė gali būti lygi EXPTIME klasei?
- Ar PSPACE yra problemų, kurioms nėra žinomo NP algoritmo?
- Ar SAT problema gali būti visiška NP problema?
- Ar problema gali būti NP sudėtingumo klasėje, jei yra nedeterministinė tiūro mašina, kuri ją išspręs daugianario laiku
- NP yra kalbų, turinčių daugianario laiko tikrintuvus, klasė
- Ar iš tikrųjų P ir NP yra ta pati sudėtingumo klasė?
- Ar P sudėtingumo klasėje kiekviena kalba be konteksto?
- Ar yra prieštaravimas tarp NP apibrėžimo kaip sprendimų problemų klasės, naudojant daugianario laiko tikrintuvus, ir to, kad P klasės uždaviniai taip pat turi daugianario laiko tikrintuvus?
Peržiūrėkite daugiau klausimų ir atsakymų skyriuje „Sudėtingumas“.