Ar Tiuringo mašinos stabdymo problemą galima išspręsti?
Klausimas, ar Tiuringo mašinos sustabdymo problema yra sprendžiama, yra esminis teorinio informatikos srities klausimas, ypač skaičiavimo sudėtingumo teorijos ir sprendžiamumo srityse. Sustabdymo problema yra sprendimo problema, kurią galima neoficialiai nusakyti taip: pateikiant Tiuringo mašinos aprašymą ir įvestį, nustatykite, ar Tiuringo mašina galiausiai sustos, kai bus paleista su ta įvestimi, ar veiks amžinai.
Norint išspręsti stabdymo problemos sprendžiamumą, būtina suprasti pačią sprendžiamumo sąvoką. Laikoma, kad problemą galima išspręsti, jei yra algoritmas, galintis pateikti teisingą „taip“ arba „ne“ atsakymą kiekvienam problemos atvejui per ribotą laiką. Ir atvirkščiai, problema yra neišsprendžiama, jei tokio algoritmo nėra.
Sustabdymo problemą pirmą kartą pristatė Alanas Turingas ir įrodė, kad jos neįmanoma išspręsti 1936 m. Turingo įrodymas yra klasikinis įstrižainės argumento pavyzdys ir apima protingą savireferencijos ir prieštaravimo naudojimą. Įrodymą galima apibūdinti taip:
1. Apsprendžiamumo prielaida: Prieštaravimo dėlei tarkime, kad egzistuoja Tiuringo mašina ( H ), galinti išspręsti stabdymo problemą. Tai yra, (H ) kaip įvestį ima porą ( (M, w) ), kur (M ) yra Tiuringo mašinos aprašymas ir (w ) yra įvesties eilutė, o (H(M, w) ) grąžina " taip“, jei ( M ) sustoja įjungus ( w ) ir „ne“, jei ( M ) nesustoja ( w ).
2. Paradoksalios mašinos konstravimas: Naudodami ( H ), sukurkite naują Tiuringo mašiną ( D ), kuri paima vieną įvestį ( M ) (Turingo mašinos aprašymas) ir veikia taip:
– ( D(M) ) veikia ( H(M, M) ).
– Jei ( H(M, M) ) grąžina "ne", tai ( D(M) ) sustoja.
– Jei ( H(M, M) ) grąžina "taip", tai ( D(M) ) patenka į begalinę kilpą.
3. Savęs nuoroda ir prieštaravimas: Apsvarstykite ( D ) elgseną, kai kaip įvestis pateikiamas jo aprašymas. Tegu ( d ) yra ( D ) aprašymas. Tada turime du atvejus:
– Jei ( D(d) ) sustoja, tai pagal ( D ) apibrėžimą ( H(d, d) ) turi grąžinti „ne“, o tai reiškia, kad ( D(d) ) neturėtų sustoti – tai prieštaravimas.
– Jei ( D(d) ) nesustabdo, tai pagal ( D ) apibrėžimą ( H(d, d) ) turi grąžinti „taip“, o tai reiškia, kad ( D(d) ) turėtų sustoti – vėlgi, prieštaravimas .
Kadangi abu atvejai sukelia prieštaravimą, pradinė prielaida, kad ( H ) egzistuoja, turi būti klaidinga. Todėl sustabdymo problema yra neišspręsta.
Šis įrodymas parodo, kad nėra bendro algoritmo, kuris galėtų išspręsti visų galimų Tiuringo mašinų ir įvesties stabdymo problemą. Sustabdymo problemos neapibrėžtumas turi didelių pasekmių skaičiavimo riboms ir tam, ką galima nustatyti algoritmiškai. Tai rodo, kad yra įgimtų apribojimų, ką galima apskaičiuoti, o kai kurių problemų negali pasiekti joks algoritmas.
Norėdami toliau iliustruoti sustabdymo problemos pasekmes, apsvarstykite šiuos pavyzdžius:
- Programos patvirtinimas: Galbūt norėsite patikrinti, ar tam tikra programa baigiasi visoms galimoms įvestims. Dėl stabdymo problemos neišsprendžiamumo neįmanoma sukurti bendros paskirties programos tikrintuvo, kuris kiekvienai galimai programai ir įvesties atveju galėtų nustatyti, ar programa bus sustabdyta.
- Saugumo analizė: Kibernetinio saugumo srityje galbūt norėsite išanalizuoti, ar kenkėjiškos programos galiausiai nustos veikti. Sustabdymo problemos neapibrėžtumas reiškia, kad nėra bendro algoritmo, kuris galėtų nustatyti, ar kuri nors kenkėjiška programa bus sustabdyta.
- Matematiniai įrodymai: Sustabdymo problema yra susijusi su Gödelio neužbaigtumo teoremomis, teigiančiomis, kad bet kurioje pakankamai galingoje formalioje sistemoje yra teisingų teiginių, kurių neįmanoma įrodyti sistemos viduje. Stabdymo problemos neapibrėžtumas rodo, kad yra klausimų apie algoritmų elgesį, į kuriuos negalima atsakyti algoritminio skaičiavimo rėmuose.
Sustabdymo problemos neapibrėžtumas taip pat veda prie sampratos sumažinamumas skaičiavimo sudėtingumo teorijoje. Sakoma, kad problema ( A ) yra redukuojama į problemą ( B ), jei ( B ) sprendimas gali būti naudojamas ( A ) išspręsti. Jei sustabdymo problemą būtų galima išspręsti, daugelis kitų neišsprendžiamų problemų taip pat galėtų būti išspręstos sumažinant stabdymo problemą. Tačiau kadangi stabdymo problema yra neišspręsta, bet kokia problema, kurią galima sumažinti iki sustabdymo, taip pat yra neišsprendžiama.
Tiuringo mašinos stabdymo problema yra neišspręsta. Šis rezultatas yra teorinio kompiuterių mokslo kertinis akmuo ir turi toli siekiančių pasekmių mūsų supratimui apie skaičiavimą, algoritmines ribas ir matematinės tiesos prigimtį.
Kiti naujausi klausimai ir atsakymai apie Sprendžiamumas:
- Ar juosta gali būti apribota įvesties dydžiu (tai atitinka tiūringo mašinos galvutės apribojimą, kad jis judėtų už TM juostos įvesties)?
- Ką reiškia, kad skirtingi Turingo mašinų variantai yra lygiaverčiai skaičiavimo galimybėmis?
- Ar turinti atpažįstama kalba gali sudaryti sprendžiamos kalbos poaibį?
- Jei turime dvi TM, apibūdinančias sprendžiamą kalbą, ar lygiavertiškumo klausimas vis dar neišspręstas?
- Kuo linijinių ribojimų automatų priėmimo problema skiriasi nuo Tiuringo mašinų?
- Pateikite problemos, kurią gali išspręsti tiesinės ribos automatas, pavyzdį.
- Paaiškinkite sprendžiamumo sąvoką tiesinės ribos automatų kontekste.
- Kaip juostos dydis linijiniuose automatuose įtakoja skirtingų konfigūracijų skaičių?
- Koks yra pagrindinis skirtumas tarp tiesinės ribos automatų ir Tiuringo mašinų?
- Apibūdinkite Turingo mašinos pavertimo PCP plytelių rinkiniu procesą ir kaip šios plytelės atspindi skaičiavimo istoriją.
Peržiūrėkite daugiau klausimų ir atsakymų „Decidability“.